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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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3.
d) Derivar las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena:
1) f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)
2) f(x)=cos⁡5(x)f(x)=\cos ^{5}(x)
3) f(x)=5x+1f(x)=\sqrt{5 x+1}
4) f(x)=sen⁡(x3−2x)f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}-2 x\right)

Respuesta

1) f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Derivamos usando la regla de la cadena como vimos en clase. Derivo primero "como si fuera" ln⁡(x)\ln(x) y después multiplico por la derivada "de lo de adentro", que en este caso "lo de adentro" seria x2+1x^2 + 1

f′(x)=1x2+1⋅2x f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x

2) f(x)=cos⁡5(x)f(x)=\cos ^{5}(x)

Te la reescribo apenas para que lo veas más claro:

f(x)=cos⁡5(x)=(cos⁡(x))5f(x)=\cos ^{5}(x) = (\cos(x))^5

Entonces derivo primero "como si fuera" x5x^5 y después multiplico por la derivada "de lo de adentro", que en este caso "lo de adentro" es cos⁡(x)\cos(x)

f′(x)=5(cos⁡(x))4⋅(−sin⁡(x)) f'(x) = 5(\cos(x))^4 \cdot (-\sin(x))

Reacomodamos un poco si querés:
f′(x)=−5sin⁡(x)cos⁡4(x) f'(x) = -5\sin(x)\cos^4(x)

3) f(x)=5x+1f(x)=\sqrt{5 x+1}

De nuevo, aplicamos regla de la cadena y nos queda:

f′(x)=125x+1⋅5 f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5x+1}} \cdot 5
4) f(x)=sen⁡(x3−2x)f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}-2 x\right)

La derivada en este caso nos queda...

f′(x)=cos⁡(x3−2x)⋅(3x2−2) f'(x) = \cos(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2)
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